درسنامه آموزشی فصل چهارم آمار و احتمال کلاس یازدهم ریاضی
درس 1: گردآوری دادهها
فعالیت (صفحهٔ 104 کتاب درسی)
میخواهیم برخی از ویژگیهای مگسهای سفید مزاحم در شهر تهران را بررسی کنیم. آیا برای انجام این کار میتوانیم ویژگیهای همهٔ مگسهای سفید را اندازهگیری کنیم؟ آیا همهٔ آنها در دسترساند؟ آیا زمان و هزینه لازم برای این کار در اختیار داریم؟
کار در کلاس (صفحهٔ 104 کتاب درسی)
در فعالیت قبل هر مگس سفید ........... است. همهٔ مگسهای سفید، که کل واحدهای آماری هستند، ............. را تشکیل میدهند. اگر سنّ همهٔ مگسهای سفید را در اختیار داشته باشیم، دادههای ......... را داریم. 100 مگس سفید معرف یک ........... است.
فعالیت (صفحهٔ 105 تا 107 کتاب درسی)
1- میخواهیم متوسط درآمد کارکنان یک مجتمع تجاری را محاسبه کنیم. اگر این مجتمع از 7 مغازه و یک بخش خدمات تشکیل شده باشد، که روی هم 17 کارکن دارند، چگونه از بین 17 نفر، 6 نفر را به تصادف انتخاب میکنید؟ یک راه ساده برای انجام این کار نوشتن اسامی کارکنان یا شمارهٔ کارمندی آنها روی 17 برگهٔ کوچک و انتخاب تصادفی 6 تا از آنهاست. آیا این روش نمونهگیری، نمونهگیری تصادفی ساده است؟ آیا همهٔ واحدهای جامعه احتمال برابری برای انتخاب دارند؟
در شکل زیر نقشهای از مجتمع تجاری ترسیم شده که کارکنان با $\times $ و دور انتخابشدگان یک دایره رسم شده است.
انجام نمونهگیری تصادفی ساده در عمل با دشواریهایی همراه است. اگر اندازه جامعهٔ بزرگ باشد، یعنی تعداد واحدهای آماری زیاد باشند، دسترسی به فهرستی از اعضای جامعه و دسترسی به اعضای انتخابی، دشوار و ممکن است هزینهبر باشد.
2- هر یک از 7 مغازه و بخش خدمات را بهصورت یک گروه فرض میکنیم. حال از بین 8 گروه در نظر گرفته شده، سه تا از آنها را به تصادف انتخاب میکنیم و در هر یک سرشماری انجام میدهیم. آیا این روش نمونهگیری سریعتر است؟
سؤال: میخواهیم میانگین نمرات ریاضی دانشآموزان شهر تهران را محاسبه کنیم. اگر فهرست همهٔ دانشآموزان را نداشته باشیم، اما فهرست مدارس موجود باشد، نمونهگیری خوشهای، راه مناسبی برای گردآوری دادههاست. اگر بودجهٔ کافی یا زمان لازم برای نمونهگیری تصادفی ساده نداشته باشیم آیا این روش مقرون به صرفه است؟
3- اگر بخواهیم یک نمونهٔ 8تایی شامل دقیقاً 4 مرد و 4 زن از مجتمع تجاری بگیریم، چگونه این کار را انجام میدهیم؟
زمانیکه جامعه به دو یا چند بخش تقسیم میشود که عضو مشترکی ندارند، میتوان از هر بخش جداگانه نمونهگیری کرد. این کار با افزایش هزینه یا زمان همراه است، ولی انتظار داریم که ...... را نیز افزایش دهد.
در واقع دادهها به دو طبقهٔ مجزّا تقسیم شدهاند که طبقات از نظر ویژگی مورد بررسی همگن هستند. در صورتیکه در نمونهگیری خوشهای، درون خوشهها هرچه ویژگی مورد بررسی تفاوت بیشتری داشته باشند بهتر است.
علاقهمند به نمونهگیری از نمرات درس ریاضی دانشآموزان استان تهران هستیم. اگر فهرست همهٔ دانشآموزان را در اختیار داشته باشیم، میتوانیم از نمونهگیری تصادفی ساده استفاده کنیم؛ ولی این روش نمونهگیری هیچ تضمینی ندارد که دانشآموزان از تمامی شهرهای استان در نمونه حضور داشته باشند. در صورتیکه اگر از هر شهر متناسب با تعداد دانشآموزان آن شهر نمونهگیری تصادفی ساده انجام دهیم، مشکل قبلی رفع میشود. به عبارت دیگر از نمونهگیری طبقهای استفاده میکنیم. حال فرض کنید فقط فهرست مدارس را داشته باشیم. چه روش نمونهگیری را پیشنهاد میکنید؟ (راهنمایی: شما میتوانید از دو روش نمونهگیری پشت سر هم استفاده کنید.)
4 - فرض کنید در مجتمع، 12 نفر حضور دارند. صبر میکنیم که مجتمع تجاری تعطیل شود و هنگام خروج کارکنان میخواهیم نمونهٔ 4 نفری انتخاب کنیم. برای این منظور، همانند شکل صفحهٔ بعد عمل کردهایم. ابتدا از 3 نفر یکی را به تصادف انتخاب میکنیم. در این شکل، نفر اوّل انتخاب شده است. حال با همین رویه برای سه نفر بعد هم، نفر اوّل را انتخاب میکنیم و ادامه میدهیم. این روش نمونهگیری شباهت بیشتری به کدامیک از روشهای نمونهگیری قبلی دارد؟ خوشهای یا طبقهای؟ این کار باعث چه نوع صرفهجویی میشود؟
به نظر شما این نوع نمونهگیری در کدامیک از مثالهای زیر امکان دارد:
- گردآوری اطلاعات از مبدأ و مقصد مسافران در خروجی ورودی یک شهر
- کنترل کیفیت یک خط تولید
- انتخاب نمونه از ماهیهای یک حوضچه
- زمانیکه فهرستی از واحدهای جامعه وجود نداشته باشد.
- فهرست واحدهای آماری ترتیب تصادفی داشته باشند.
آیا اعضای جامعه برای انتخاب شدن در نمونهگیری سامانمند شانسی برابر دارند؟ چرا؟
کار در کلاس (صفحهٔ 107 کتاب درسی)
جدول زیر را کامل کنید.
| روش نمونهگیری | مزیت | محدودیت |
|---|---|---|
| تصادفی ساده | ||
| خوشهای | ||
| طبقهای | ||
| سامانمند |
فعالیت (صفحهٔ 107 کتاب درسی)
از مگسهای سفید با چه روشی میتوان نمونهگیری کرد؟ فهرستی از آنها نداریم، تعداد آنها را هم نمیدانیم. میتوان چند منطقه از تهران را به تصادف انتخاب کرد و در هر منطقه نمونهٔ در دسترس را انتخاب و بررسی کنیم. آیا این روش نمونهگیری به تمامی واحدهای جامعه شانس انتخاب میدهد؟
نمونهگیریهای چهار فعالیت قبل، همگی احتمالیاند. در کدامیک همهٔ واحدهای آماری احتمال برابری برای انتخاب دارند.
کار در کلاس (صفحهٔ 108 کتاب درسی)
راه حلی ارائه کنید که نمونهگیریهای غیر احتمالی زیر را احتمالی میکند، هرچند که بهصورت غیر واقعی باشد.
| مثال | نمونهگیری غیر احتمالی | نمونهگیری احتمالی |
| نمونهگیری از یک قفس بزرگ خرگوشهای یک آزمایشگاه | بدون برنامهریزی خرگوشهایی را برمیدارد که دستش به آنها میخورد. | |
| در مطالعاتی که در آنها فرایند سنجش برای شخصی که سنجیده میشود ناخوشایند یا دردسرآفرین است. | داوطلبانی که حاضر به پاسخ به سؤالات شما در یک نظرسنجی میشوند. | |
| نمونهگیری از زغالسنگهای یک واگن | نمونه در دسترس انتخاب میشود. |
فعالیت (صفحهٔ 108 تا 109 کتاب درسی)
شاید در نگاه اوّل اینطور بهنظر برسد که انجام نمونهگیری تصادفی ساده کاری آسان است، در حالی که در دنیای واقعی، گاهی چنین نیست. روشهای نمونهگیری که به ذهن میرسند، گاهی مشکلات و ایرادهایی دارند که در نگاه اوّل دیده نمیشوند و استفاده از آنها ما را به نتایجی بسیار دور از واقعیت میرساند. این موضوع را با چند مثال بهتر متوجه خواهید شد.
فرض کنید آمارگیری میخواهد بداند در یک شهر خانوادهها چند نفرهاند. او برای این کار صد نفر را بهتصادف انتخاب میکند و از آنها میپرسد: «خانوادهٔ شما چند نفر است؟»
آیا این روش برای نمونهگیری درست است؟ جواب منفی است! دلیل آن هم این است که واحدهای آماری مورد نظر در این مسئلهٔ خانوادهها هستند نه افراد. آیا خانوادههای مختلف احتمال حضور برابر در این نمونهگیری را دارند؟ واضح است که احتمال حضور هر خانواده متناسب با تعداد اعضای آن است و مثلاً احتمال حضور یک خانوادهٔ شش نفره دو برابر احتمال حضور یک خانوادهٔ سه نفره است و این، یعنی شرایط نمونهگیری ساده برقرار نیست.
نتیجهٔ چنین ایرادی در نمونهگیری این است که هر چه تعداد نمونهها را افزایش دهیم، نتایج به مقداری اشتباه نزدیکتر میشود. مثلاً فرض کنید آمار واقعی تعداد افراد خانوادهها چنین باشد:
| تعداد افراد | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 و بیشتر |
| درصد | 8/5 | 2/07 | 28/5 | 27/6 | 14/7 |
در این جامعه تعداد خانوادههای دو نفره تقریباً $\frac{.....}{......}=1/4$ برابر تعداد خانوادههای پنج نفره (و بیشتر) است، ولی با آمارگیری نادرستی که توضیح داده شد به نتیجهٔ دیگری خواهیم رسید؛ احتمال حضور یک خانوادهٔ پنج نفره (و بیشتر) در نمونهها بیشتر از ……… برابر احتمال حضور یک خانوادهٔ دو نفره است و لذا عددی که در روش نادرست آماری بهدست میآید کمتر از $\frac{1/4}{2/5}=0/56$ است. نتیجه اینکه هر چند واقعیت این است که نسبت خانوادههای دو نفره بسیار بیشتر از خانوادههای 5 نفره (و بیشتر) است، ولی ما با نمونهگیری اشتباه به نتیجهای بسیار متفاوت میرسیم.
برای برطرف کردن این مشکل راههای مختلفی دارد. مثلاً اینکه فقط از سرپرست خانوادهها در مورد تعداد اعضای خانوادهها بپرسیم. (جدول صفحهٔ قبل، برگرفته از آمار واقعی کشور در سرشماری (Census) سال 1395 است.)
کار در کلاس (صفحهٔ 109 کتاب درسی)
فرض کنید در شهری جمعیت کلاسهای پایهٔ ششم دبستان به شکل زیر باشد:
| تعداد دانشآموز | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |
| تعداد کلاس | 7 | 9 | 10 | 11 | 7 | 11 | 8 | 8 | 7 | 5 | 4 |
الف) چه تعداد کلاس پایهٔ ششم در این شهر وجود دارد؟ تعداد دانشآموزان پایهٔ ششم چندتاست؟
ب) چه درصدی از کلاسهای پایهٔ ششم بیشتر از 30 دانشآموز دارند؟
پ) اگر بهتصادف یک دانشآموز ششم دبستانی را انتخاب کنیم، احتمال اینکه کلاسی که در آن درس میخواند بیشتر از 30 دانشآموز داشته باشد، چقدر است؟
ت) فرض کنید فردی برای اینکه بفهمد کلاسهای ششم دبستان چند نفریاند، تعداد زیادی دانشآموز ششم دبستانی را بهتصادف انتخاب کند و از آنها بپرسد «کلاس شما چند نفره است؟» این کار چه ایرادی دارد؟
ث) اگر با روش قبل درصد کلاسهای با بیش از 30 دانشآموز را محاسبه کنیم، نتیجه از جواب واقعی چند درصد فاصله خواهد داشت؟
مثال: فرض کنید میخواهیم میزان آلایندگی خودروهای در حال تردّد در شهری را بررسی کنیم. برای این کار چگونه باید نمونهگیری کنیم؟
اگر نمونهگیری را در تعمیرگاهها انجام دهیم، هرچند هر خودرویی ممکن است گاهی سر از تعمیرگاه در آورد، ولی این نمونهگیری، تصادفی ساده نیست؛ زیرا احتمال اینکه یک خودرو در نمونهٔ ما باشد، متناسب با ساعاتی است که در تعمیرگاه بوده است و لذا درصد خودرویهای آلاینده بسیار بیشتر از واقعیت نشان داده خواهد شد.
اگر نمونهگیری را در خیابان انجام دهیم، مشکل آن کمتر است، ولی باز هم نمونهگیری ما مشکل دارد؛ زیرا خودروهایی که از آنها بیشتر استفاده میشود، احتمال بیشتری دارد که بهعنوان نمونه انتخاب شوند.
کار در کلاس (صفحهٔ 109 کتاب درسی)
فرض کنید بخواهیم میزان مطالعهٔ غیردرسی دانشآموزان یک مدرسه را بررسی کنیم. برای این کار این سؤال را طراحی کردهایم و میخواهیم از یک نمونهٔ 30تایی آنرا بپرسیم: «در یک سال گذشته چند کتاب غیردرسی خواندهاید؟»
روشهای زیر را نقد کنید:
الف) پرسیدن سؤال از تعدادی از دانشآموزانی که در کتابخانه هستند.
ب) گذاشتن تعدادی پرسشنامه در محل رفتوآمد دانشآموزان.
پ) پرسیدن از دانشآموزانی که صبح وارد مدرسه میشوند و مایلاند به سؤال مذکور جواب دهند.
شما چه روشی را پیشنهاد میکنید که به نمونهگیری تصادفی ساده نزدیکتر باشد؟
کار در کلاس (صفحهٔ 110 کتاب درسی)
از جمله مسائلی که مردم در مورد آنها به نظرسنجیها علاقه زیادی نشان میدهند، انتخابات است. با این وجود، گاهی مردم و گاهی گروههای سیاسی از روشهایی برای کشف نظر مردم استفاده میکنند که آنها را گمراه میکند.
در این مورد روشهای زیر را نقد کنید:
الف) پرسیدن نظر دوستان و اطرافیان.
ب) طراحی یک نظرسنجی در وبگاهی پرطرفدار و لحاظ کردن سازوکاری که از یک آدرس بیش از یک بار رأی گرفته نشود.
در تمام مثالهایی که ذکر شد، روش نمونهگیری به شکلی بود که دادههایی به سمتی انحراف پیدا میکردند و لذا افزایش تعداد نمونهها نیز به کاهش این انحراف کمک نمیکرد. در علم آمار اصطلاحی خاص برای این مشکل وجود دارد:
خواندنی
شرکتهای هرمی که سالها در دنیا کلاهبرداری کردهاند از اواخر دههٔ 70 شمسی (حدود سال 1378) وارد ایران شدند.
یک شرکت هرمی از مشتریان خود میخواهد که افراد جدیدی را به عضویت شرکت درآورند و به آنها وعده میدهد که اگر زیرشاخه تولیدشده بهاندازهٔ کافی بزرگ شود، جوایزی به او تعلق خواهد گرفت. معمولاً اعضای این شرکتها برای اینکه بفهمند شانس رسیدن به جایزهها چقدر است به اطرافیان خود و بهخصوص بالاسریهای خود نگاه میکنند. مثال سادهٔ زیر نشان میدهد که این نوع نمونهگیری تا چه حد گمراهکننده است:
شرکتی هرمی از مشتریان خود میخواهد که بعد از خرید یک میلیون تومان کالا، دو نفر را بهعنوان زیرشاخه خود معرفی کنند تا آنها هم همین کار را انجام دهند. شرکت به هر کس که زیرمجموعههایش تا سه ردیف رشد کند جایزه میدهد. عموم مشتریان تصور میکنند تا قبل از یک ماه به جایزه خواهند رسید.
درخت دودویی بالا نشان میدهد که مجموعهٔ مشتریان این شرکت چگونه رشد میکند؛ اگر این درخت n ردیف داشته باشد، تعداد اعضای آن برابر است با:
$1+2+4+...+{{2}^{n}}-1$
همهٔ این اعضا، مگر آنهایی که در سه ردیف آخر قرار دارند، از شرکت جایزه گرفتهاند. تعداد آنها برابر است با:
$1+2+4+...+{{2}^{n-4}}={{2}^{n-3}}-1$
پس نسبت کسانی که جایزه گرفتهاند، به کل اعضای برابر کسر زیر است:
$\frac{{{2}^{n-3}}-1}{{{2}^{n}}-1}\cong \frac{{{2}^{n-3}}}{{{2}^{n}}}=\frac{1}{8}$
یعنی از هر 8 نفر فقط یکی موفق به گرفتن جایزه شده است. اکنون از زاویهٔ دید کسی به ماجرا نگاه کنید که که در ردیف آخر این مجموعه است و به بالاسریهای خود نگاه میکند. خودش و افراد بالای سرش n نفر هستند و غیر از سه نفر پایینی همه جایزه گرفتهاند. لذا این عضو، نسبت جایزه گرفتهها را به کل اعضا به این شکل برآورد میکند:
$\frac{n-3}{n}=1-\frac{3}{n}$
و این عبارت وقتی n بزرگ باشد، تقریباً برابر یک است. مثلاً بهازای $n=12$ که تعداد اعضای شرکت ${{2}^{12}}-1=4095$ نفر است. یک عضو تازه وارد تصور میکند که نسبت کسانی که جایزه گرفتهاند برابر با:
$1-\frac{3}{12}=0/75$
است؛ یعنی 75 درصد. در حالیکه مقدار واقعی کمتر از 12/5 درصد است.
اگر تعداد ردیفها به $n=18$ برسد، تعداد اعضای شرکت ${{2}^{18}}-1=262143$ نفر میشود. در اینصورت، عضو تازه واردی که فقط به خودش و بالاسریهای خودش نگاه میکند، تصور میکند که نسبت کسانیکه جایزه گرفتهاند برابر $1-\frac{3}{18}=0/83$ یعنی 83 درصد است؛ در حالیکه در واقع این نسبت تقریباً همان 12/5 درصد است!
این شرکتها، اگر از طریق قانون، متوقف نشوند، آنقدر رشد میکنند که دیگر ادامهٔ کار برای اعضا به صرفه نیست و در آن مقطع مشخص میشود که مثلاً از حدود یک میلیون عضو، 875 هزار نفر ضرر کردهاند! از آن بدتر وضعیت کسانی است که جایزهای از شرکت گرفتهاند، ولی زیرشاخههای آنها که عموماً دوست و فامیلشان هستند ضرر کردهاند؛ این افراد آبرو و اعتبار خود را از دست دادهاند.
فعالیت (صفحهٔ 112 کتاب درسی)
میخواهیم طول قد دانشآموزان یک مدرسه را گردآوری کنیم. برای این منظور چه راهی پیشنهاد میکنید؟
اگر قرار شد آمارگیر باشیم، میتوانیم جدولی بهصورت زیر تکمیل کنیم.
مثالی از جدول طراحی شده برای ثبت دادهها
| اندازه طول قد | خط نشان برای شمارش | تعداد دانشآموزان |
| $\lt 140$ طول قد | ||
| $\lt 149/5$ طول قد $139/5\le $ | ||
| $\lt 159/5$ طول قد $149/5\le $ | ||
| $\lt 169/5$ طول قد $1595\le $ | ||
| $\ge 169/5$ طول قد |
آمارگیری زحمت زیادی برای آمارگیر دارد. آیا راه حل سادهتری برای انجام آن دارید؟ یکی از مرسومترین روشهای آمارگیری، استفاده از پرسشنامه است. پرسشنامه شبیه همان جدولی است که هنگام ثبت نام در مدرسه، آنرا تکمیل کردهاید.
واحدهای جامعه یا نمونه توانند پرسشنامه تکمیل کنند.
کار در کلاس (صفحهٔ 113 کتاب درسی)
1- چه راه دیگری برای آمارگیری طول قد دانشآموزان یک مدرسه پیشنهاد میکنید؟
2- فرض کنید زمان لازم را برای گردآوری همهٔ دادههای دانشآموزان در اختیار نداشته باشید. اگر بخواهیم نمونهای را انتخاب و آمارگیری کنیم، چه راهی پیشنهاد میکنید که نمونه بهصورت تصادفی انتخاب شود؟
1- مشاهده (Observation): گردآوری دادهها بدون نیاز به فرد پاسخگو، مانند شمارش تعداد وسایل نقلیهٔ عبوری از یک تقاطع در هر ساعت یا اندازهگیری وزن محصولات یک باغ میوه.
2- پرسشنامه (Questionnaire): مجموعهٔ سؤالات از پیش تعیین شده که توسط تعدادی پاسخگو تکمیل میشود. این روش مرسومترین ابزار گرفتن اطلاعات از مردم است. مرکز آمار ایران هر 10 سال یک بار با استفاده از پرسشنامه اطلاعات همهٔ خانوارهای ساکن در ایران را گردآوری میکند. به این فرایند، سرشماری نفوس و مسکن میگوییم.
3- مصاحبه (Interview): معمولاً بین دو نفر صورت میگیرد: یکی مصاحبهگر (همان آمارگیر) و دیگری مصاحبهشونده، یا پاسخگو است. مثلاً اگر بخواهیم دربارهٔ مسائل فرهنگی کاهش شدآمد (ترافیک) پژوهش کنیم، مصاحبه از صاحبنظران راه حلّ مناسبی برای گردآوری دادههاست. از این روش، بیشتر زمانی استفاده میشود که آمارگیر از همهٔ پاسخهای ممکن اطلاع کافی ندارد.
4- دادگان (Database): شامل مجموعهای از اطلاعات ذخیره شده است. در بسیاری از موارد، دادهها را میتوان از اطلاعاتی که قبلاً ذخیره شده است، بهدست آورد. اگر قرار است تحقیقی در مورد نمرههای دروس ریاضی استانها انجام شود، اطلاعات ثبتی اداره کل آموزش و پرورش راهگشا خواهد بود. از سوی دیگر بهدلیل تولید دادهها بهصورت خودکار، در بسیاری از مؤسسات و سامانهها، استفاده از این روش برای گردآوری دادهها بهسرعت رواج یافته است.
کار در کلاس (صفحهٔ 114 کتاب درسی)
الف) کدام روش برای گردآوری هر یک از دادهها مناسب است؟
1- تعداد قلمهای هر دانشآموز در یک کلاس.
2- ساعات خواب دانشآموزان کلاس درس شما در شب گذشته.
3- طول قدّ دانشآموزان یک کلاس.
ب) میخواهیم طول قدّ دانشآموزان یک کلاس یا مدرسه را به یکی از سه روش زیر آمارگیری کنیم. هریک از این روشها محدودیتهایی دارند. چگونه میتوان این محدودیتها را از بین برد؟
پرسشنامه: اگر تعداد واحدهای نمونه زیاد باشد، این روش زمانبر است.
مشاهده: اگر به دقت زیادی نیاز داشته باشیم، مناسب نیست.
دادگانها: همیشه اطلاعات ثبتی در اختیار نیست.
فعالیت (صفحهٔ 114 کتاب درسی)
قرار است دربارهٔ افرادی که از کوه دنا بالا رفتهاند، پژوهشی آماری انجام دهیم. واحدهای آماری این پژوهش، همهٔ افرادی هستند که توانستهاند به قلّه برسند. هدف از این پژوهش میتواند فرهنگی، یا علمی باشد. بسته به نوع پژوهش، یک یا چند ویژگی این افراد (مانند طول قد یا جنسیت) مورد نیاز است. به هریک از این ویژگیها که مورد پژوهش قرار میگیرد، متغیّر میگویند. سایر متغیّرها میتوانند مواردی مانند: سن، وزن، ملیّت، میزان تحصیلات و درآمد باشند. متغیّرهای مورد بررسی در یک پژوهش ممکن است کمّی یا کیفی باشند.
در مثال کوهنوردان دنا، سن، وزن، قد و درآمد یک کوهنورد، متغیرهای کمّیاند. متغیّرهای کیفی معمولاً از نوع مشاهدات غیر عددیاند و در مثال کوهنوردان دنا، جنسیت و ملیّت را دربر میگیرند. بهعنوان مثال، جنسیت برای دستهبندی افراد به مرد و زن استفاده میشود.
مثلاً اگر دادههای مربوط به تک تک کوهنوردان را داشته باشیم؛ یعنی به دادههای جامعه دسترسی داریم. نسبت مردان در کل جامعهٔ کوهنوردان، معرّف یک پارامتر است.
اگر دادههای بعضی از کوهنوردان را داشته باشیم؛ یعنی دادههای نمونه را در اختیار داریم. نسبت مردانِ کوهنورد به این دادههای نمونهای را، آماره (مقدار آماره) گویند. آمارهها از نمونهای به نمونهٔ دیگر تغییر میکنند؛ این در حالی است که پارامترهای جامعه همیشه ثابتاند. چرا؟
در بسیاری از موارد، آمارگیری از کلّ جامعه امکانپذیر نیست. بنابراین، بهرغم اینکه پارامتر مقدار ثابتی دارد، این مقدار مجهول است و به همین دلیل از آمارهها برای تخمین پارامترها استفاده میکنند.
مثال: ادارهٔ کشاورزی استان خوزستان در حال ارزیابی هندوانههای آمادهٔ برداشت است. در این بررسی، هندوانهها همان واحدهای آماریاند. اگر پژوهشگران وزن هندوانهها را مورد بررسی قرار دهند، متغیّر، «وزن» آنهاست. وزن یک متغیّر کمّی است؛ زیرا با مقادیر عددی ارائه میشود. اگر وزن تک تک هندوانههای این زمین بررسی شود، سرشماری از جامعه انجام، دادهایم (که امکانپذیر نیست). متوسط وزنِ همهٔ هندوانههای قابل برداشت در این، «پارامتر» است.
حال فرض کنیم پژوهشگران تصمیم دارند بر اساس معیار «مزه» هندوانهها را مورد بررسی قرار دهند. در این حالت، مزۀ هندوانهها را میتوان به سه دسته تقسیم کرد: بد، قابل قبول و خوب. حال که میخواهیم مزۀ هندوانهها را امتحان کنیم، مطالعه به بخشی از کلّ هندوانهها محدود میشود. در اینجا «مزه» متغیری کیفی است؛ زیرا نمیتوانیم همهٔ هندوانهها را مزهمزه کنیم، فقط بخشی از هندوانهها مورد مطالعه قرار میگیرند؛ پس باید «نمونه» بگیریم. نسبت تعداد هندوانههای دارای مزۀ «خوب» در نمونه، یک «آماره» است.
تمرین (صفحهٔ 116 کتاب درسی)
1- در نمونهگیری تصادفی ساده، احتمال اینکه فرد بهخصوصی در اوّلین انتخاب عضو نمونه باشد، چقدر است؟ اگر مسئله با جایگذاری باشد، احتمال اینکه او در دومین انتخاب عضو نمونه باشد، چقدراست؟ اگر مسئله بدون جایگذاری باشد، و از نتیجه انتخاب اوّل اطلاع نداشته باشیم، احتمال اینکه او در دومین انتخاب عضو نمونه باشد، چقدر است؟
2- آیا در نمونهگیری خوشهای احتمال انتخاب واحدهای آماری برابر است؟ چرا؟ احتمال انتخاب خوشهها چطور؟ آیا این روش نمونهگیری احتمالی است؟
3- روشهای نمونهگیری احتمالی چه مزیتی بر نمونهگیریهای غیر احتمالی دارند؟
4- برای هریک از روشهای نمونهگیری احتمالی دو مثال واقعی بیاورید.
5- اگر اندازهٔ جامعه بزرگ باشد، نمونهگیری با جایگذاری و بدون جایگذاری تقریباً مثل هم هستند. در اینصورت، آیا میتوانید راه حل کلی برای انتخاب تصادفی n نمونه از یک فهرست Nتایی ارائه کنید؟
6- آیا احتمال انتخاب واحدهای آماری در نمونهگیری طبقهای برابر است؟ در هر طبقه چطور؟
7- فرق بین داده و متغیّر چیست؟
8- فرق بین آماره با پارامتر چیست؟
9- در یک جامعهٔ آماری، آیا ممکن است که یک پارامتر تغییر کند؟ اگر سه نمونه با اندازهٔ یکسان از یک جامعه داشته باشیم، میتوان سه مقدار متفاوت از یک آماره بهدست آورد؟
10- در یک مطالعه از 1261 مشتری غذاهای گیاهی، سؤال شده است که برای کدام وعده غذایی (ناهار یا شام) سفارش دادهاند؟
الف) متغیّر را مشخص کنید. این متغیّر کمّی است یا کیفی؟
ب) کدام روش گردآوری دادهها برای مطالعه مناسب است؟
پ) جامعهٔ آماری در اینجا چیست؟ در این مطالعه پارامتر و آماره چه چیزی میتوانند باشند؟
11- کدام روش گردآوری دادهها برای موارد زیر مناسب است؟ یک دلیل برای انتخاب خود ذکر کنید.
- میزان رضایت مشتریان بانک از نحوهٔ برخورد و رسیدگی به درخواستهای آنها.
- سنّ همهٔ دانشآموزان مدرسه بر حسب ماه در پایهٔ دهم.
- تعداد سرنشینان خودروهای سواری در یکی از محورهای خروجی شهر.
12- فرض کنید جامعهای از $N=10$ عضو تشکیل شده و میخواهیم نمونهای بهاندازهٔ $n=20$ از آن انتخاب کنیم. در هر یک از حالتهای زیر احتمال انتخاب هر عضو جامعه بهعنوان نمونه چقدر است؟ نام هر روش نمونهگیری را بگویید.
الف) اگر جامعه به دو قسمت 50تایی تقسیم شود و بخواهیم از هر قسمت نمونهٔ تصادفی 10تایی انتخاب کنیم.
ب) اگر جامعه بهتصادف به 10 قسمت مساوی تقسیم شود و دو قسمت را بهعنوان نمونه انتخاب کنیم.
پ) اگر جامعه بهتصادف به 20 قسمت مساوی تقسیم شود، و از قسمت اوّل یک عضو بهتصادف انتخاب شود. فرض کنید عضو انتخابی دومین عضو باشد و از قسمتهای بعدی نیز دومین عضو انتخاب شود.
13- دلایل اریبی در نمونهگیریهای زیر را ذکر کنید. کدام روش گردآوری دادهها برای آنها مناسبتر است؟
الف) نمونهگیری راحت: افراد در دسترس را بهعنوان نمونه انتخاب میکنیم.
ب) نمونهٔ غیر تصادفی: عامل شانس در انتخاب نمونه نقشی ندارد.
پ) نمونهگیری ایمیلی (رایانامهای): پرسشنامهای به ایمیلهای انتخاب شده ارسال میشود.
ت) نمونهگیری تلفنی: از دفترچهٔ راهنمای تلفن تعدادی شماره بهتصادف انتخاب میشود.
ث) برخی از اعضای انتخاب شده در نمونه حاضر به پاسخگویی نمیباشند.
14- نوع روش نمونهگیری مناسبتر را انتخاب کنید.
الف) شرکت واردکنندهٔ خودروهای سنگین برای بررسی عملکرد سامانه ترمز آنها میخواهد ده درصد از خودروهایی را که به مرور زمان وارد کشور میشوند بازرسی کند.
ب) مدیر مدرسهٔ 600 نفری میخواهد نظر دانشآموزان را برای تغییر ساعت تعطیلی مدرسه بر اساس یک نمونهٔ 12تایی بداند.
پ) در قسمت قبل اگر مدرسه، شش پایه داشته باشد و ما حدس بزنیم که نظر 6 پایه با هم تفاوت دارد (با فرض برابر بودن تعداد دانشآموزان در پایههای مختلف).
15- چگونه از ارقام 0 تا 9 عدد تصادفی انتخاب میکنید؟ آیا با روش پیشنهادی شما میتوان عدد تصادفی بین اعداد 0 تا 99 انتخاب کرد؟ آیا امکان توسعهٔ روش پیشنهادی شما به انتخاب تصادفی از فهرستی 1000تایی امکانپذیر است؟